Fundamentos de Física

Princípio de Conservação do Momentum Angular

Para uma partícula de massa $m$ e velocidade $\overrightarrow{v}$, definimos o momentum angular $\overrightarrow{𝓁}$ em relação a um dado ponto $O$ por:

$\overrightarrow{𝓁}=m\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}$

onde $\overrightarrow{r}$ é o vetor posição da partícula em relação ao ponto $O$.

Em outras palavras, o momentum angular é um vetor de módulo:

$𝓁=mrv$ $\mathrm{sen}$ $\theta$

direção perpendicular ao plano dos vetores $\overrightarrow{r}$ e $\overrightarrow{v}$ e sentido dado pela regra da mão direita.

Como o momentum angular pode mudar se $\overrightarrow{r}$ muda ou se $\overrightarrow{v}$ muda, vem:

$\Delta $ \overrightarrow{𝓁}$=m(\Delta \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}+\overrightarrow{r}\times \Delta \overrightarrow{v})$

Dividindo todos os termos por $\Delta t$, o intervalo de tempo durante o qual o momentum angular varia e levando em conta que:

$\frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}=\overrightarrow{v}$

e que:

$\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}=0$

temos:

$\frac{\Delta \overrightarrow{𝓁}}{\Delta t}=m\overrightarrow{r}\times \left(\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}\right)$

Agora, o termo entre parênteses é a aceleração da partícula e pela segunda lei de Newton:

$m\left(\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}\right)=\mathrm{<font\; size="5">\Sigma </font>}$ $\overrightarrow{F}$

e pela definição de torque:

$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{\tau }$

de modo que da expressão acima resulta:

$\frac{\Delta \overrightarrow{𝓁}}{\Delta t}=\mathrm{<font\; size="5">\Sigma </font>}$ $\overrightarrow{\tau }$

Assim, a variação temporal do momentum angular de uma partícula é igual ao torque resultante que age sobre esta partícula.

Por outro lado, o momentum angular de um sistema de $N$ partículas é a soma dos momenta angulares de todas as partículas que compõem esse sistema:

$\overrightarrow{L}={\overrightarrow{𝓁}}_1+{\overrightarrow{𝓁}}_2+\mathrm{.\; .\; .}+{\overrightarrow{𝓁}}_N$

E como a expressão logo acima vale para cada uma das $N$ partículas que compõem o sistema, podemos escrever:

$\frac{\Delta \overrightarrow{L}}{\Delta t}=\mathrm{<font\; size="5">\Sigma </font>}$ $\overrightarrow{\tau }$

O momentum angular total do sistema de partículas em relação a um ponto qualquer do espaço varia no tempo por efeito dos torques das forças exercidas sobre todas as partículas do sistema.

Destes torques, uns estão associados às forças internas ao sistema, isto é, às forças exercidas pelas partículas do sistema umas sobre as outras, e outros, estão associados às foças externas. Mas a soma dos torques associados às forças internas ao sistema é nula porque, por efeito da terceira lei de Newton, é nula a soma dos torques associados às forças mútuas entre quaisquer duas partículas.

Desta forma, temos:

$\frac{\Delta \overrightarrow{L}}{\Delta t}=\mathrm{<font\; size="5">\Sigma </font>} {\overrightarrow{\tau }}_{\mathrm{<mrow>ext</mrow>}}$

A variação com o tempo do momentum angular total de um sistema de partículas em relação a um ponto qualquer é igual à soma dos torques associados às forças externas que atuam sobre o sistema.

Caso a soma dos torques associados às forças externas que atuam sobre o sistema seja nula:

$\frac{\Delta \overrightarrow{L}}{\Delta t}=0$     ou     $\overrightarrow{L}=\mathrm{<mrow>constante</mrow>}$

Podemos, assim, enunciar o princípio de conservação do momentum angular: para um sistema isolado, isto é, quando o torque resultante das forças externas sobre o sistema é nulo, o momentum angular total do sistema é constante.

Os (vetores) momenta angulares individuais das partículas que constituem o sistema podem variar, porém sua soma (vetorial) permanece constante.

• Como isto se relaciona à segunda lei de Kepler?

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Site do Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria (GEF-UFSM)