Fundamentos de Física

Relação Massa-Energia

Segundo a Teoria Eletromagnética Clássica, a radiação eletromagnética exerce pressão sobre um obstáculo interposto em seu caminho. Então, a radiação eletromagnética exerce pressão sobre um corpo que a absorve. Se a radiação eletromagnética tem energia $E$, o módulo do momentum linear transferido ao corpo é dado pela expressão:

$p=\frac{E}{c}$

Um momentum linear com exatamente o mesmo módulo é perdido por um corpo que emite radiação eletromagnética com energia $E$. Esse corpo, então, tem um recuo nos mesmos moldes que o esperado, por exemplo, de uma arma de fogo quando um tiro é disparado.

Agora, seja um sistema rígido de comprimento $L$ e massa $M$ em repouso em relação a um dado referencial inercial. Esse sistema é constituído por um tubo longo em cujas extremidades estão fixados dois corpos, A e B, ambos com massa $m$ (Fig. (a)).

Então, o corpo A emite na direção do corpo B um trem de ondas eletromagnéticas com energia $E$, momentum linear de módulo $E/c$ e extensão espacial muito menor do que o comprimento do tubo. Com a emissão da radiação pelo corpo A, o sistema como um todo (exceto o trem de ondas eletromagnéticas) recua com uma velocidade $\overrightarrow{u}$ em relação ao referencial considerado (Fig. (b)). O módulo dessa velocidade é dado, pelo princípio de conservação do momentum linear, pela expressão:

$u=\frac{E}{Mc}$

O trem de radiação eletromagnética, após um intervalo de tempo $\Delta t$ medido no referencial em questão, é absorvido pelo corpo B, transferindo um momentum de módulo $p=E/c$ ao sistema que, então, volta a ficar em repouso em relação ao referencial considerado (Fig. (c)).

No processo completo, o centro de massa (CM) do sistema teve um deslocamento no sentido contrário do deslocamento da radiação eletromagnética de módulo $x=u\Delta t$. Agora, supondo $u\ll c$, pode-se considerar $\Delta t=L/c$. Então:

$x=\frac{EL}{M{c}^2}$

Ora, esse deslocamento de módulo $x$ contradiz o fato de que a posição do centro de massa de um sistema só pode mudar por efeito de uma força resultante externa de módulo não nulo e a emissão do trem de radiação eletromagnética é um processo interno ao sistema.

A única maneira de evitar essa contradição é considerar que a massa do corpo A fica menor com a emissão do trem de radiação eletromagnética e a massa do corpo B fica maior com a absorção desse mesmo trem de radiação eletromagnética. Digamos, então, que a emissão do trem de radiação eletromagnética diminui a massa do corpo A de uma quantidade $m*$ e que a absorção do mesmo trem de radiação eletromagnética aumenta a massa do corpo B dessa mesma quantidade $m*$. A posição do centro de massa do sistema deve permanecer a mesma durante todo processo e podemos escrever:

$\frac{L}{2}=\left(\frac{1}{M}\right)[(m-m*)(-x)+(m+m*)(L-x)+(M-2m)(\frac{L}{2}-x)]$

e daí:

$m*=\left(\frac{M}{L}\right)x$

Agora, com o valor de $x$ obtido acima, temos:

$m*=\left(\frac{M}{L}\right)\frac{EL}{M{c}^2}$

ou:

$m*=\frac{E}{c^2}$

Desta forma:

Ao emitir um trem de radiação eletromagnética com energia $E$, a massa de um corpo qualquer diminui da quantidade $E/c^2$.

Ao absorver um trem de radiação eletromagnética com energia $E$, a massa de um corpo qualquer aumenta da quantidade $E/c^2$.

Aqui cabe a seguinte observação. Essa demonstração faz uso do conceito de corpo rígido. Se existisse um corpo realmente rígido, os efeitos da aplicação de uma força qualquer sobre um de seus pontos apareceriam instantaneamente nesse e em todos os outros pontos. Assim, o conceito de corpo rígido não pode ser incorporado à Teoria da Relatividade Especial porque implica em interações instantâneas. De qualquer modo, considerando-se um corpo não rígido chega-se, ao final das contas, a um resultado exatamente igual àquele obtido acima.

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Site do Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria (GEF-UFSM)