Fundamentos de Física

Como é o campo elétrico
de uma partícula carregada?

A lei de Gauss para a eletricidade afirma que o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada qualquer é igual à carga elétrica total no interior dessa superfície dividida pela constante ${\epsilon }_0$. Matematicamente:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}{\overrightarrow{E}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{s}}_k=\frac{q}{{\epsilon }_0}$         [Superfície Fechada]

Vamos usar essa lei para determinar o campo elétrico gerado por uma partícula com carga elétrica $Q$. Como superfície fechada, vamos escolher uma superfície esférica em cujo centro se encontra a partícula carregada.

A figura representa um meridiano da superfície esférica escolhida. O segmento A-B é um diâmetro qualquer. A carga $Q$ concentra-se numa pequena região no centro da superfície esférica, isto é, onde se encontra a partícula carregada. Por simetria, o vetor campo elétrico $\overrightarrow{E}$ no ponto B não pode ter qualquer componente perpendicular ao diâmetro A-B. Assim, exatamente como está representado na figura, o vetor campo elétrico no ponto B é radial, isto é, tem a direção do diâmetro (A-B). O mesmo argumento pode ser repetido para qualquer outro diâmetro desse e de outro meridiano qualquer e a conclusão que chegamos é que o vetor campo elétrico, em qualquer ponto da superfície esférica, é perpendicular ao elemento de superfície local.

Além disso, como todos os pontos da superfície esférica estão igualmente espaçados da partícula carregada central, todos os vetores de campo elétrico em todos os pontos da superfície esférica têm módulos iguais.

Por outro lado, o vetor campo elétrico $\overrightarrow{E}$ representado na figura aponta para fora da superfície, correspondendo a uma carga $Q$ positiva.

Agora, imaginemos a superfície esférica dividida em um grande número $N$ de elementos de superfície, com áreas $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$ ( k = 1, 2, ... N ), pequenos o suficiente para que, sobre cada um deles, o (vetor) campo elétrico possa ser considerado constante.

Por convenção, cada um dos vetores $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$ é perpendicular ao correspondente elemento de superfície e aponta para fora da superfície esférica. Assim, em cada elemento de superfície, os vetores $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$ e ${\overrightarrow{E}}_k$ são paralelos.

Por tudo isso e pelo fato de que a área da superfície esférica é $4\pi R^2$, temos:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}{\overrightarrow{E}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{s}}_k=E{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}\Delta s_k=E(4\pi R^2)$

Com esse resultado, a expressão matemática da lei de Gauss para a eletricidade fica:

$E(4\pi R^2)=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$

e daí:

$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q}{R^2}\right)$

Este resultado expressa o módulo do vetor campo elétrico a uma distância $R$ da partícula com carga $Q$. A direção do vetor é radial e o sentido, de afastamento da partícula, se $Q$ é positiva, e de aproximação, se $Q$ é negativa.

As figuras representam as linhas de campo elétrico de partículas carregadas positiva e negativamente.

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Site do Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria (GEF-UFSM)