Fundamentos de Física

Leis do Eletromagnetismo

A teoria clássica que chamamos de Mecânica é estruturada pelas três leis de Newton e por leis de força, como, por exemplo, a lei da Gravitação Universal.

De modo análogo, a teoria clássica que chamamos de Eletromagnetismo é estruturada por quatro leis: lei de Gauss para a Eletricidade (que inclui a lei de Coulomb), lei de Gauss para o Magnetismo, lei de Ampère-Maxwell e lei de Faraday-Lenz. Estas quatro leis são complementadas pela lei de força de Lorentz:

$\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$

Nesta expressão, $\overrightarrow{E}$ representa o vetor campo elétrico, $\overrightarrow{B}$ representa o vetor campo magnético, ambos na posição ocupada pela partícula com carga elétrica $q$ e velocidade $\overrightarrow{v}$ no referencial escolhido.

Lei de Gauss para a Eletricidade

Numa região de campo elétrico, imaginemos uma superfície S dividida em um grande número $N$ de elementos de superfície, com áreas $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$ ( k = 1, 2, ... N ), pequenos o suficiente para que, sobre cada um deles, o (vetor) campo elétrico possa ser considerado constante.

Ao k-ésimo elemento de superfície (mostrado na figura) associa-se o vetor $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$, perpendicular a esse elemento de superfície. Ao longo de todo esse elemento de superfície, o vetor campo elétrico ${\overrightarrow{E}}_k$ é constante.

Chamamos de fluxo do campo elétrico através da superfície S a grandeza:

${\phi }_E={\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}{\overrightarrow{E}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$

Por convenção, se a superfície S é fechada, os vetores associados aos elementos de superfície têm sentidos que apontam de dentro para fora da superfície.

Em termos de linhas de campo, o fluxo elétrico é dado pelo número de linhas que atravessam a superfície considerada.

A lei de Gauss para a eletricidade afirma: o fluxo elétrico através de uma superfície fechada qualquer é igual à carga elétrica total no interior dessa superfície dividida pela constante ${\epsilon }_0$. Matematicamente:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}{\overrightarrow{E}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{s}}_k=\frac{q}{{\epsilon }_0}$         [Superfície Fechada]

A lei de Gauss para a eletricidade inclui a possibilidade da existência de cargas elétricas isoladas. Além disso, expressa o fato que a fonte do campo elétrico é a propriedade das partículas que chamamos de carga elétrica.

• Como é o campo elétrico de uma partícula carregada?
• E a lei de Coulomb?

Lei de Gauss para o Magnetismo

Numa região de campo magnético, imaginemos uma superfície S dividida em um grande número $N$ de elementos de superfície, com áreas $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$ ( k = 1, 2, ... N ), pequenos o suficiente para que, sobre cada um deles, o (vetor) campo magnético possa ser considerado constante.

Ao k-ésimo elemento de superfície (mostrado na figura) associa-se o vetor $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$, perpendicular a esse elemento de superfície. Ao longo de todo esse elemento de superfície, o vetor campo magnético ${\overrightarrow{B}}_k$ é constante.

Chamamos de fluxo do campo magnético através da superfície S a grandeza:

${\phi }_B={\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}{\overrightarrow{B}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{s}}_k$

Por convenção, se a superfície S é fechada, os vetores associados aos elementos de superfície têm sentidos que apontam de dentro para fora da superfície.

Em termos de linhas de campo, o fluxo magnético é dado pelo número de linhas que atravessam a superfície considerada.

Agora, as linhas de campo magnético são contínuas e fechadas. E se a superfície através da qual se quer calcular o fluxo é fechada, cada linha de campo conta, para o cálculo do fluxo total através desta superfície, uma vez quando entra e outra quando sai da superfície. Então, devido à convenção dada acima para o sentido dos vetores associados aos elementos de superfície, o valor da expressão:

${\overrightarrow{B}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{s}}_k=B_k(\Delta s_k)\cos$ $\theta$

para todos os valores de k é negativo quando a linha entra, porque θ > 90^o, e positivo quando a linha sai, porque θ < 90^o. Desse modo, a soma sobre todas as linhas dá zero. Em outras palavras: o fluxo magnético através de uma superfície fechada qualquer é sempre nulo. Essa afirmativa constitui a lei de Gauss para o Magnetismo. Matematicamente:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}{\overrightarrow{B}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{s}}_k=0$         [Superfície Fechada]

A lei de Gauss para o Magnetismo expressa a inseparabilidade dos pólos magnéticos, ou seja, a inexistência de pólos magnéticos isolados (monopólos magnéticos). Isto significa que toda linha de campo é uma linha contínua e fechada: parte do polo N e vai ao polo S por fora do imã e do polo S retorna ao polo N por dentro do imã.

A figura representa as linhas de campo magnético de um imã. As letras C e D indicam superfícies fechadas. As linhas tracejadas mostram onde estas superfícies cortam o plano da figura. É claro, pela figura, que o número de linhas de campo magnético que passam através de qualquer uma das duas superfícies C e D de fora para dentro é igual ao número de linhas de campo que passam de dentro para fora, de modo que o fluxo magnético total, para cada superfície, é nulo. O mesmo vale para qualquer outra superfície fechada que possamos imaginar.

Lei de Ampère-Maxwell

Numa região de campo magnético, seja uma linha fechada C dividida em um grande número $N$ de elementos de linha, com comprimentos $\Delta {𝓁}_k$ ( k = 1, 2, ... N ), pequenos o suficiente para que, sobre cada um deles, o (vetor) campo magnético possa ser considerado constante.

Ao k-ésimo elemento de comprimento associa-se o vetor $\Delta {\overrightarrow{𝓁}}_k$, tangente à curva C. Chamamos de circulação do campo magnético ao longo da linha C a grandeza:

${\xi }_B={\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}{\overrightarrow{B}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{𝓁}}_k$

A lei de Ampère afirma: a circulação do campo magnético ao longo de uma linha fechada (chamada amperiana) que envolve a corrente $i$ é igual ao produto desta corrente pela constante ${\mu }_0$. Matematicamente:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{<mrow>k\; =\; 1</mrow>}}^N}{\overrightarrow{B}}_k$· $\Delta {\overrightarrow{𝓁}}_k={\mu }_{0}i$          [Linha Fechada]

Na aplicação dessa equação devemos considerar a linha fechada e, portanto, todos os elementos $\Delta {\overrightarrow{𝓁}}_1$, $\Delta {\overrightarrow{𝓁}}_2$, ... $\Delta {\overrightarrow{𝓁}}_N$, orientados segundo os dedos da mão direita com o polegar na direção da corrente $i$.

Em termos sintéticos, a lei de Ampère expressa o fato que uma corrente elétrica gera um campo magnético. Um campo elétrico variável no tempo também gera um campo magnético. Incorporamos esse fato ao formalismo adicionando o termo de corrente de deslocamento na expressão matemática da lei de Ampère. Então, temos a lei de Ampère-Maxwell.

• Como é o campo magnético ao redor de um fio condutor reto?
• O que é a corrente de deslocamento?

Lei de Faraday-Lenz

Segundo a lei de Faraday: a taxa de variação do fluxo do campo magnético através da superfície limitada por um circuito é igual à força eletromotriz (fem) induzida nesse circuito. Matematicamente:

$\epsilon =-\frac{\Delta {\phi }_B}{\Delta t}$

Em termos sintéticos, a lei de Faraday expressa o fato que um campo magnético variável no tempo gera um campo elétrico. O sinal negativo que aparece nessa expressão representa matematicamente a lei de Lenz. Esta lei está relacionada ao princípio de conservação da energia, conforme discutimos adiante.

Devemos observar, de passagem, que o nome força eletromotriz, dado a essa grandeza, é mantido por questões históricas. Essa grandeza não representa fisicamente uma força e sim, uma diferença de potencial elétrico. Assim, tem como unidade no SI, o volt $(V)$.

Com o objetivo de estudar a lei de Faraday, podemos conseguir um imã permanente em forma de barra e montar o circuito mostrado na figura (a), com uma espira D ligada a um amperímetro A. Conforme movemos o imã num referencial fixo na espira, aproximando-o ou afastando-o dela, uma corrente induzida com um ou outro sentido aparece no circuito e é acusada pelo amperímetro. Além disso, a intensidade da corrente varia conforme a velocidade com que movemos o imã: quanto maior a velocidade, maior a intensidade da corrente.

Também podemos estudar a lei de Faraday com o arranjo mostrado na figura (b), em que substituimos o imã em forma de barra pela espira E, ligada a uma bateria B, com uma chave C que abre e fecha o circuito. Podemos fazer variar a corrente na espira E, ligando e desligando a chave C. Isto induz uma corrente na espira D, que é acusada pelo amperímetro A. A corrente nesta espira só aparece nos instantes que se seguem aos atos de ligar e desligar a chave C no circuito da espira E e, em cada caso, com um sentido diferente. Enquanto a chave C permanecer desligada ou permanecer ligada, não aparece corrente na espira D.

• Qual é o conteúdo físico da lei de Lenz?
• O que é uma onda eletromagnética?

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Site do Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria (GEF-UFSM)