Fundamentos de Física

Leis de Kepler

Considerando um referencial fixo no Sol, por efeito da lei da gravitação universal, o movimento dos planetas ao redor do Sol acontece segundo as três leis de Kepler. Na verdade, as leis de Kepler não se aplicam apenas às órbitas dos planetas ao redor do Sol. Elas valem de modo geral para qualquer corpo em órbita ao redor de outro corpo, num referencial em que este último está em repouso e quando a interação entre os corpos é gravitacional. Por exemplo, a Lua e os satélites artificiais têm órbitas que seguem as leis de Kepler num referencial fixo na Terra e as luas de Júpiter seguem as leis de Kepler num referencial em que Júpiter está em repouso.

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Primeira Lei de Kepler

A primeira lei de Kepler, chamada lei das órbitas elípticas, estabelece o seguinte: num referencial fixo no Sol, as órbitas dos planetas são elipses e o Sol ocupa um dos focos.

A tabela abaixo mostra as excentricidades das órbitas dos oito planetas do Sistema Solar.

Mercúrio	0,206
Vênus	0,007
Terra	0,017
Marte	0,093
Júpiter	0,048
Saturno	0,056
Urano	0,046
Netuno	0,009

Essas excentricidades são muito pequenas, ou seja, as órbitas são quase circunferências. A órbita mais achatada é a do planeta Mercúrio. A figura (a) mostra em escala esta órbita com os dois focos. Uma das órbitas menos achatadas é a da Terra. A figura (b) mostra a órbita da Terra com os dois focos.

As órbitas da Terra, de Vênus e de Netuno são praticamente circunferências. O mesmo se poderia dizer das órbitas de Júpiter, Saturno e Urano. As órbitas de Marte e de Mercúrio são um pouco achatadas.

Aqui, é interessante notar o seguinte:

• Menor Distância Mercúrio-Sol: 4,6 × 10⁷ km
• Distância Terra-Sol: 1,5 × 10⁸ km
• Diâmetro do Sol: 1,4 × 10⁶ km

Assim, comparando a primeira com a terceira, podemos ver que o diâmetro do Sol é cerca de 33 vezes menor do que a menor distância Mercúrio-Sol. Na figura (a), que representa a órbita de Mercúrio, o Sol deveria ser representado por um ponto com o mesmo diâmetro daquele usado para representar cada foco.

De modo análogo, comparando a segunda com a terceira, podemos ver que o diâmetro do Sol é cerca de 107 vezes menor do que a distância Terra-Sol. Na figura (b), que representa a órbita da Terra, o Sol deveria ser representado por um ponto com a metade do diâmetro daquele usado para representar cada foco.

A órbita da Terra é praticamente uma circunferência. A diferença entre a distância de maior proximidade Terra-Sol e a distância de maior afastamento é muito pequena e não pode justificar a diferença no clima entre o inverno e o verão. Além do mais, quando é inverno num hemisfério terrestre, é verão no outro. Na verdade, essa diferença climática vem da inclinação do eixo de rotação da Terra ao redor de si própria em relação ao plano da órbita.

A interação gravitacional entre o Sol e cada planeta pode ser representada por forças inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre o planeta e o Sol. A primeira lei de Kepler é conseqüência desse fato.

Segunda Lei de Kepler

A segunda lei de Kepler, chamada lei das áreas, estabelece o seguinte: num referencial fixo no Sol, a reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.

As áreas A₁, A₂ e A₃ na figura são iguais. A segunda lei de Kepler informa que são iguais os tempos levados pelo planeta para percorrer os correspondentes arcos BC, DE e FG. Portanto, o módulo da velocidade linear do planeta é tanto maior quanto mais perto do Sol ele se encontra.

De qualquer forma, como as órbitas são aproximadamente circunferências, a variação relativa do módulo da velocidade linear dos planetas é pequena.

A segunda lei de Kepler é conseqüência do princípio de conservação do momentum angular.

Terceira Lei de Kepler

A terceira lei de Kepler, chamada lei harmônica, estabelece o seguinte: num referencial fixo no Sol, o quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da elipse que representa a órbita do planeta.

Matematicamente:

$T^2=k{a}^3$

em que $k$ tem, aproximadamente, o mesmo valor para todos os planetas.

Podemos obter essa relação considerando um modelo em que as órbitas planetárias são circunferências, ou seja, considerando o movimento de cada planeta ao redor do Sol como um movimento circular uniforme num referencial em que o Sol está em repouso. Nesse caso, a força gravitacional do Sol sobre o planeta é a força centrípeta do MCU correspondente e podemos escrever:

$\frac{m{v}^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}$

em que $m$ é a massa do planeta, $M$ é a massa do Sol, $v$ é o módulo da velocidade linear do planeta e $R$ é o raio da órbita. No modelo que estamos considerando, o raio e o semi-eixo maior da órbita são idênticos. Se o planeta leva um tempo $T$ para dar uma volta completa ao redor do Sol, temos:

$v=\frac{2\pi R}{T}$

e substituindo $v$ desta expressão naquela de cima e simplificando, obtemos:

$T^2=\left(\frac{4{\pi }^2}{GM}\right)R^3$

O termo entre parênteses é constante e podemos escrever:

$k=\left(\frac{4{\pi }^2}{GM}\right)$

de modo que:

$T^2=k{R}^3$

Esta é a expressão matemática da terceira lei de Kepler.

No modelo que estamos considerando, em que as órbitas planetárias são circunferências, $k$ é constante, isto é, tem o mesmo valor para todos os planetas, porque só depende da constante universal $G$ e da massa $M$ do Sol. Um cálculo mais próximo da realidade indicaria que $k$ depende também da massa do planeta.

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Site do Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria (GEF-UFSM)