Fundamentos de Física

O que isto tem a ver com a estrutura do espaço?

Um conjunto de partículas que interagem entre si, mas não com o resto do Universo, constitui um sistema isolado.

O espaço é homogêneo se as propriedades de qualquer sistema isolado não dependem de sua localização.

Vamos considerar um sistema isolado cujas N partículas têm, todas, o mesmo deslocamento $\overrightarrow{r}$ bem pequeno, mas não nulo no espaço.

Se ${\overrightarrow{F}}_k$ é a resultante das forças exercidas por todas as outras partículas do sistema sobre a k-ésima partícula, a energia associada ao trabalho daquelas partículas sobre esta é ${\overrightarrow{F}}_k$ · $\overrightarrow{r}$. Então, a variação da energia potencial do sistema é:

Δ$U=\left({\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+\mathrm{.\; .\; .}+{\overrightarrow{F}}_N\right)$ · $\overrightarrow{r}$

Se o espaço é homogêneo, as propriedades do sistema não podem ter mudado por efeito do deslocamento $\overrightarrow{r}$. Em particular, a energia potencial do sistema deve ser a mesma antes e depois do deslocamento: Δ$U=0$. E como o deslocamento é arbitrário e diferente de zero, temos:

${\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+\mathrm{.\; .\; .}+{\overrightarrow{F}}_N=0$

Portanto, se o espaço é homogêneo, a soma de todas as forças internas de um sistema isolado de partículas é zero. Em particular, se o sistema isolado é formado apenas pelas partículas A e B:

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{AB}}=-{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{BA}}$

Em palavras: a força que a partícula A exerce sobre a partícula B tem o mesmo módulo e a mesma direção que a força que a partícula B exerce sobre a partícula A, mas sentido contrário. Assim, a terceira lei de Newton e o princípio de conservação do momentum vêm da homogeneidade do espaço.

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Site do Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria (GEF-UFSM)