Fundamentos de Física

Princípio de Conservação da Energia

Vamos considerar dois corpos, A e B. O corpo A exerce uma força $\overrightarrow{F}$ no corpo B. Num dado referencial inercial, o corpo B tem um deslocamento $\overrightarrow{d}$, da posição P₁ à posição P₂. Pela terceira lei de Newton, o corpo B também exerce uma força no corpo A, mas não vamos nos preocupar com isso agora.

Dizemos que o corpo A realiza trabalho sobre o corpo B. Nesse sentido, o termo trabalho se refere a um processo mecânico de transferência de energia de um corpo a outro.

A quantidade de energia transferida do corpo A ao corpo B nesse processo é:

$W_{12}=$ $\overrightarrow{F}$ · $\overrightarrow{d}=Fd$ $\cos$ $\theta$

Vamos supor que, no referencial considerado, o corpo B tem velocidade ${\overrightarrow{v}}_1$ na posição P₁ e velocidade ${\overrightarrow{v}}_2$ na posição P₂ e que a força que o corpo A exerce no corpo B é constante. Além disso, vamos supor que todos os vetores estão sobre a mesma linha reta.

Pela Cinemática e pela segunda lei de Newton, podemos escrever:

$W_{12}=Fd=ma$ ( $v_{1}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ )

$v_2=v_1+at$

Nestas expressões, t é o tempo que o corpo B leva para realizar o deslocamento $\overrightarrow{d}$ e $a$ é o módulo de sua aceleração. Então, isolando t na segunda expressão e substituindo-o na primeira, resulta:

$W_{12}=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$

ou:

$\frac{1}{2}m{v_2}^2=\frac{1}{2}m{v_1}^2+W_{12}$

Esse resultado vale inclusive no caso mais geral representado na primeira figura e pode ser interpretado da seguinte maneira: o corpo B tem uma energia $\frac{1}{2}m{v_1}^2$ na posição P₁, ganha uma energia $W_{12}$ durante o seu deslocamento e tem uma energia $\frac{1}{2}m{v_2}^2$ na posição P₂.

Como usamos a segunda lei de Newton, a energia $W_{12}$ está associada à resultante das forças que agem sobre o corpo B.

A energia definida por $\frac{1}{2}m{v}^2$ é chamada de energia cinética:

$K=\frac{1}{2}m{v}^2$

e o resultado acima pode ser escrito:

$W_{12}=$Δ$K=K_2-K_1$

Este resultado é conhecido como teorema trabalho-energia cinética.

Por outro lado, lembrando que a resultante das forças que o resto do Universo exerce sobre um sistema isolado é nula, vamos agora tomar como verdadeiro o princípio de conservação da energia mecânica: a energia mecânica de um sistema isolado é constante.

Para explorar as conseqüências desse princípio, vamos considerar o corpo A em repouso no referencial considerado. Então, a energia cinética do sistema formado pelos corpos A e B é igual à energia cinética do corpo B. E como essa energia aumenta de uma quantidade $W_{12}$ com o deslocamento do corpo B da posição P₁ para a posição P₂, deve haver outra forma de energia no sistema, que diminui exatamente da mesma quantidade $W_{12}$ durante esse mesmo deslocamento. Assim, escrevemos:

$U_2=U_1-W_{12}$

ou:

Δ$U=-W_{12}$

Esta expressão define Δ$U$. Só tem sentido definir Δ$U$ e, portanto, só podemos enunciar o princípio de conservação da energia mecânica, se as forças que atuam nos corpos do sistema são conservativas. A energia $U$ é chamada de energia potencial do sistema.

• O que são forças conservativas?
• Por que o plano inclinado é uma máquina simples?

Com o teorema trabalho-energia cinética, temos:

$U_2=U_1-$ ($K_2-K_1$)

ou:

$U_2+K_2=U_1+K_1$

Desse modo, durante o deslocamento do corpo B, a energia cinética do sistema cresce ($K_2>K_1$) e a energia potencial diminui ($U_2<U_1$). A energia mecânica é a soma da energia potencial com a energia cinética:

$E=U+K$

e podemos expressar matematicamente o princípio de conservação da energia mecânica, escrevendo:

$E=U+K=$constante           [Sistema Isolado]

• O que significa o zero da energia?
• Mas massa não se transforma em energia?

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Site do Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria (GEF-UFSM)