Fundamentos de Física

O que é o modelo de Bohr?

O modelo atômico de Bohr foi uma tentativa de aplicar as idéias de quantização de Planck e Einstein ao modelo nuclear de Rutherford. Com o referencial fixo no núcleo do átomo, o modelo está baseado nas seguintes hipóteses:

1. O movimento do elétron ao redor do núcleo atômico é descrito pelas leis de Newton.
2. O elétron pode ocupar apenas certas órbitas especiais ao redor do núcleo. Estas órbitas são determinadas impondo que o módulo do momentum angular do elétron ao redor do núcleo só pode ter valores múltiplos inteiros da constante de Planck dividida por $2\pi$:
   
             $L=\left(\frac{h}{2\pi }\right)n$          [$n=\mathrm{<mrow>1,\; 2,\; 3,\; ...\; \infty </mrow>}$]
   
   
3. As órbitas são estacionárias. Os estados atômicos correspondentes são estados estacionários.
4. O átomo pode passar de um estado estacionário para outro por emissão ou absorção de radiação eletromagnética com freqüência dada por:
   
              $\nu =\frac{\left|\Delta E\right|}{h}$
   
   em que $\left|\Delta E\right|$ é o módulo da diferença de energia entre os estados estacionários.

A primeira suposição não apresenta qualquer problema de aceitação e estipula, apesar das outras características estranhas do modelo, um comportamento newtoniano clássico usual para o elétron nas órbitas estacionárias. A segunda suposição não tem qualquer justificativa a não ser o sucesso do modelo. A terceira suposição aparece para evitar o dilema da emissão de radiação eletromagnética pelo elétron no seu movimento acelerado ao redor do núcleo, que levaria ao colapso do átomo. A quarta suposição é a mais estranha para a Física Clássica porque não especifica o mecanismo de passagem do elétron de uma órbita estacionária para outra.

Vamos discutir os raios das órbitas possíveis para o elétron e as correspondentes energias dos estados estacionários do átomo.

Consideremos um átomo com número atômico $Z$, formado por um núcleo com carga positiva $Ze$ e um elétron com massa $m$ e carga elétrica $-e$. Num referencial inercial fixo no núcleo, o elétron tem uma órbita circular. Igualando o módulo da força centrípeta ao módulo da força eletrostática que atua sobre o elétron, temos:

$\frac{m{v}^2}{R}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Z{e}^2}{R^2}\right)$

em que $v$ representa o módulo da velocidade do elétron e $R$, o raio da sua órbita.

O módulo do momentum angular de um elétron de massa $m$, numa órbita circular de raio $R$ ao redor do núcleo, é dado pela expressão:

$L=mvr$

No modelo de Bohr, o módulo do momentum angular do elétron numa órbita estacionária deve ter valores múltiplos inteiros de $h/2\pi$. Portanto, podemos escrever, para a $n$-ésima órbita:

$m{v}_n{R}_n=\left(\frac{h}{2\pi }\right)n$           [$n=\mathrm{<mrow>1,\; 2,\; 3,\; ...\; \infty </mrow>}$]

O número inteiro $n$, que especifica a órbita ou o estado estacionário do átomo, é chamado de número quântico.

Isolando $v$ nesta expressão e substituindo na anterior, obtemos:

$R_n=\frac{{\epsilon }_0}{\pi }\left(\frac{h^2}{mZ{e}^2}\right)n^2$           [$n=\mathrm{<mrow>1,\; 2,\; 3,\; ...\; \infty </mrow>}$]

Segundo o modelo de Bohr, as únicas órbitas possíveis para o elétron que gira ao redor do núcleo são aquelas com raios dados por essa expressão.

A figura (a) representa as primeiras órbitas com os raios em escala. A figura (b) ilustra os processos de emissão e absorção de radiação eletromagnética pelo átomo.

Por outro lado, como o referencial está fixo no núcleo atômico, ele tem velocidade nula. Desse modo, a energia cinética do átomo é a energia cinética do elétron. Se o elétron se move na $n$-ésima órbita:

$K_n=\frac{1}{2}m{v_n}^2=\left(\frac{Z{e}^2}{8\pi {\epsilon }_0}\right)\frac{1}{R_n}$

Nesse contexto, é conveniente tomar a energia potencial atômica como sendo nula quando o elétron está a uma distância infinita do núcleo. Assim, a energia potencial do átomo, quando o elétron está na $n$-ésima órbita fica:

$U_n=-\left(\frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}\right)R_n$

e levando em conta a expressão demonstrada acima para $R_n$, a energia total do átomo de um elétron, num referencial fixo no núcleo, quando o elétron está na $n$-ésima órbita, pode ser escrita:

$E_n=-\left(\frac{m{Z}^2{e}^4}{8{{\epsilon }_0}^2{h}^2}\right)\frac{1}{n^2}$           [$n=1$,  $2$, $3$, ... $\infty$]

Segundo o modelo de Bohr, estas são as energias possíveis para o átomo, associadas às órbitas possíveis para o elétron que gira ao redor do núcleo.

O modelo atômico de Bohr é um modelo semi-clássico porque envolve tanto conceitos da Física Clássica quanto conceitos da Física Quântica. Num modelo puramente quântico, não podemos falar em uma energia bem definida para cada órbita e também não podemos falar em órbitas para os elétrons ao redor do núcleo atômico.

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