Leis dos Fluidos Ideais

A Hidrostática estuda os fluidos ideais em repouso num referencial inercial fixo no recipiente que os contém, considerando o equilíbrio das pressões que atuam em qualquer elemento de volume. As leis da Hidrostática são: lei de Stevin, lei de Arquimedes e lei de Pascal.

A Hidrodinâmica estuda os fluidos ideais em movimento num referencial inercial fixo na tubulação pela qual eles escoam. Esse estudo é complexo e difícil, envolvendo matemática avançada. Por simplicidade, vamos discutir apenas duas equações: equação da continuidade e equação de Bernoulli.

O que é um fluido ideal?

Lei de Stevin

A lei de Stevin estabelece o seguinte: a pressão em um fluido em equilíbrio, com densidade constante, varia linearmente com a profundidade.

Podemos mostrar isso a partir das leis de Newton. Vamos considerar uma porção imaginária de fluido em forma de cilindro circular reto, com seção reta de área A, altura h e face superior em contato com a atmosfera. Para todos os efeitos, essa porção de fluido mantém sua forma cilíndrica como se fosse um corpo rígido e, por isso, tem sentido falarmos nas forças que atuam nele.

A atmosfera exerce pressão na face superior do cilindro imaginário e causa o aparecimento da força ${\vec{F}}_{1}$ . A porção de fluido abaixo da face inferior do cilindro imaginário exerce nela uma pressão e causa o aparecimento da força ${\vec{F}}_{2}$ .

Desse modo temos, em módulo:

$F_{1} = A P_{A}$

$F_{2} = A P (h)$

em que $P (h)$ é a pressão no interior do fluido a uma profundidade $h$ . Além disso, a Terra exerce, no cilindro imaginário, a força peso ${\vec{P}}_{E}$ , de módulo:

$P_{E} = m g = A h ρ g$

em que $ρ$ representa a densidade do fluido. O fluido está em equilíbrio, isto é, em repouso num referencial inercial fixo no recipiente que o contém. Então, a porção de fluido em forma de cilindro que estamos considerando também está em repouso nesse referencial e podemos escrever, em módulo:

$F_{2} = F_{1} + P_{E}$

e com as expressões acima para $F_{1}$ , $F_{2}$ e $P_{E}$ resulta:

$P (h) = P_{A} + ρ g h$

Portanto, a pressão em um fluido em equilíbrio varia linearmente com a profundidade.

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Lei de Arquimedes

A lei de Arquimedes estabelece o seguinte: um corpo total ou parcialmente mergulhado em um fluido em equilíbrio recebe dele uma força (chamada empuxo) vertical, de baixo para cima, de módulo igual ao módulo do peso da quantidade de fluido deslocado pelo corpo.

Podemos mostrar isso a partir da lei de Stevin que, por sua vez, foi mostrada a partir das leis de Newton. Consideremos um corpo cilíndrico, com seção reta de área $A$ , altura $h$ , imerso em um fluido em equilíbrio, com densidade $ρ$ .

Por simetria, a resultante das forças horizontais que o fluido exerce sobre o corpo é nula. Na vertical, o fluido exerce, sobre o corpo, as forças ${\vec{F}}_{1}$ e ${\vec{F}}_{1}$ , com módulos dados pela lei de Stevin:

$F_{1} = (P_{A} + ρ g h_{1}) A$

$F_{2} = (P_{A} + ρ g h_{2}) A$

de modo que o módulo da resultante das forças verticais que o fluido exerce sobre o corpo é:

$E = F_{2} - F_{1} = ρ g (h_{2} - h_{1}) A = ρ g h A$

Agora, $h A$ é o volume do corpo imerso, $ρ h A$ é a massa e $ρ h A g$ é o módulo do peso da quantidade de fluido deslocado pelo corpo.

Portanto, como a resultante das forças horizontais que o fluido exerce sobre o corpo é nula, a direção do empuxo é vertical. Como $h_{2} > h_{1}$ , a pressão do fluido na profundidade $h_{2}$ é maior do que a pressão do fluido na profundidade $h_{1}$ e o sentido do empuxo é de baixo para cima. Além disso, pela expressão acima, o módulo do empuxo é igual ao módulo do peso da quantidade de fluido deslocado pelo corpo.

O resultado final não depende da forma do corpo imerso e, por isso, podemos supor que ele seja válido qualquer que seja a forma do corpo.

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Lei de Pascal

A lei de Pascal estabelece o seguinte: uma variação de pressão produzida em um elemento de superfície do fluido homogêneo em equilíbrio se transmite integralmente a todos os outros elementos de superfície deste mesmo fluido.

Esse resultado pode ser justificado imediatamente pela lei de Stevin.

Vamos considerar um fluido homogêneo em equilíbrio, isto é, em repouso num referencial inercial fixo no recipiente que o contém. Então, a lei de Stevin garante que a diferença de pressão entre dois elementos de superfície horizontais quaisquer desse fluido é constante e depende apenas do desnível entre eles. Assim, se a pressão em um elemento de superfície aumenta, após o equilíbrio ter sido restituído, a pressão em todos os outros elementos de superfície deve ter aumentado do mesmo valor para que a diferença de pressão entre elementos de superfície dependa apenas do desnível entre eles.

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Equação da Continuidade

A equação da continuidade estabelece que, para um fluido com densidade constante, em escoamento estacionário, numa tubulação sem derivações, a vazão é constante.

Como veremos, esta equação expressa, na Hidrodinâmica, a conservação da massa para um fluido com densidade constante.

Quando todos os elementos de volume do fluido que passam por um ponto qualquer dentro do tubo o fazem sempre com a mesma velocidade, num referencial inercial fixo no tubo, o escoamento é chamado de estacionário, laminar ou lamelar. Em pontos diferentes, as velocidades dos elementos de volume podem ser diferentes.

Um escoamento estacionário pode ser conseguido se o fluido se desloca com velocidade de módulo relativamente pequeno.

Consideremos, então, um fluido de densidade $ρ$ constante, em escoamento estacionário numa tubulação sem derivações.

As massas das quantidades de fluido que escoam através da seção 1, de área $A_{1}$ , com velocidade ${\vec{v}}_{1}$ , e da seção 2, de área $A_{2}$ , com velocidade ${\vec{v}}_{2}$ , durante o intervalo de tempo $Δ t$ são:

$m_{1} = ρ A_{1} v_{1} Δ t$

$m_{2} = ρ A_{2} v_{2} Δ t$

Como não existem derivações e o fluido é incompressível, $m_{1} = m_{2}$ , e as expressões acima fornecem:

$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$

e como as seções 1 e 2 da tubulação são genéricas, podemos escrever:

$A v = constante$

Esta é a equação da continuidade.

Chamamos de vazão o quociente do volume de fluido que escoa através de uma seção reta do tubo pelo intervalo de tempo correspondente:

$Q = \frac{V}{Δ t} = A v$

Desta forma, o resultado acima estabelece que, para um fluido com densidade constante, em escoamento estacionário, numa tubulação sem derivações, a vazão é constante.

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Equação de Bernoulli

Vamos considerar um fluido com densidade $ρ$ constante, em escoamento estacionário em uma tubulação sem derivações.

Sejam dois elementos de volume desse fluido, percorrendo a linha de corrente tracejada, um deles a pressão

P_{1}

, atravessando a seção 1 com velocidade

{\vec{v}}_{1}

e o outro, a pressão

P_{2}

, atravessando a seção 2 com velocidade

{\vec{v}}_{2}

Não vamos demonstrar, mas o princípio de conservação da energia permite escrever:

$P_{1} + ρ g y_{1} + \frac{1}{2} ρ {v_{1}}^{2} = P_{2} + ρ g y_{2} + \frac{1}{2} ρ {v_{2}}^{2}$

Como as seções 1 e 2 da tubulação são genéricas, podemos escrever:

$P + ρ g y + \frac{1}{2} ρ v^{2} = constante$

Esta é a equação de Bernoulli.

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